Question

給定一個(gè)正方體與三個(gè)球，其中一個(gè)球與該正方體的各面都相切，第二個(gè)球與正方體的各棱都相切，第三個(gè)球過(guò)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，則此三球的半徑之比是______．

Answer 1

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，可得
∵第一個(gè)球與該正方體的各面都相切
∴第一個(gè)球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)a，故球的半徑為r₁=

1

2

a
又∵第二個(gè)球與正方體的各棱都相切
∴第二個(gè)球的直徑等于正方體的相對(duì)兩條棱的距離
故球的半徑為正方體面上的對(duì)角線長(zhǎng)：即2r₂=

2

a?r₂=

2

2

a
∵第三個(gè)球過(guò)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，
∴第三個(gè)球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)
即2r₃=

a2+a2+a2

=

3

a?r₃=

3

2

a
可得r₁：r₂：r₃=

1

2

a：

2

2

a：

3

2

a=1：

2

：

3

故答案為：1：

2

：

3