Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（a）為f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
（i）寫出g（a）的表達式；
（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域[0，+∞），求出f′（x），因為a為實數(shù)，討論a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函數(shù)的單調遞增區(qū)間；若a＞0，令f'（x）=0，得到函數(shù)駐點討論x取值得到函數(shù)的單調區(qū)間即可．
（Ⅱ）①討論若a≤0，f（x）在[0，2]上單調遞增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上單調遞減，所以．得到g（a）為分段函數(shù)，寫出即可；②令-6≤g（a）≤-2，代到第一段上無解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．則求出a的取值范圍即可．
解答：解；（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為[0，+∞），（x＞0）．
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）有單調遞增區(qū)間[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得，當時，f'（x）＜0，
當時，f'（x）＞0．f（x）有單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上單調遞增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上單調遞減，
所以．
綜上所述，改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，無解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得．故a的取值范圍為．
點評：本題主要考查函數(shù)的性質、求導數(shù)的應用等基礎知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．