Question

若數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，?n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+t，t為常數(shù)，且2a₃=a₂+a₄．
（1）求

a1+a3

a2

的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）若a₁=t=1，對任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ak

，

1

ap

，

1

ar

成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示一組p和r；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由題意，分別令n=1，2得到a22=a₁a₃+t①，令n=2，a32=a₂a₄+t②利用做差法，即可求出

a1+a3

a2

的值；
（2）

a

2 n+1

=anan+2+t③，

a

2 n+2

=an+1an+3+t④，得到利用做差法，得到數(shù)列{

an+an+2

an+1

}為常數(shù)數(shù)列，繼而得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）由條件求出數(shù)列{a_n}的通項公式，由此推導出當k=1時，不存在p，r滿足題設條件；當k≥2時，存在令p=2k-1得r=kp=k（2k-1），滿足題設條件．

解答： 解：（1）由條件，?n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+t，t為常數(shù)，
令n=1，得a22=a₁a₃+t①，令n=2，a32=a₂a₄+t②
②-①，得  

a

2 3

-

a

2 2

=a2a4-a1a3，a₃（a₃+a₁）=a₂（a₂+a₄），
∴

a1+a3

a2

=

a2+a4

a3

=2．
（2）

a

2 n+1

=anan+2+t③，

a

2 n+2

=an+1an+3+t④，
④-③，得 

an+1+an+3

an+2

=

an+an+2

an+1

，
∴數(shù)列{

an+an+2

an+1

}為常數(shù)數(shù)列，
∴

an+an+2

an+1

=

a1+a3

a2

=2．
∴a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（3）由（2）知，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設公差為d，
則由條件a_n+1²=a_na_n+2+1，得

a

2 n+1

-(an+1-d)(an+1+d)=a1
∴d²=a₁=1，又數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，
∴d＞0，
∴d=1，
∴a_n=n．
當k=1時，若存在p，r使

1

ak

，

1

ap

，

1

ar

成等差數(shù)列，則

1

r

=

2

p

-1=

2-p

p

≤0．
與

1

r

＞0矛盾．因此，當k=1時，不存在．
當k≥2時，則

1

k

+

1

r

=

2

p

，所以r=

kp

2k-p

．
令p=2k-1得r=kp=k（2k-1），滿足k＜p＜r．
綜上所述，當k=1時，不存在p，r；
當k≥2時，存在一組p=2k-1，r=k（2k-1）滿足題意．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查使得數(shù)列為等差數(shù)列的正整數(shù)是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．