Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x²-a|．（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x³+x，故f′（x）=-3x²+1=-3（x-）（），令f′（x）=0，得，，由此能求出函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）當a=0時，f（x）=x³，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；當a＜0時，f（x）=x³-ax，由f′（x）=3x²-a＞0恒成立，知f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．當a＞0時，或時，f′（x）=3x²-a=3（x+）（x-），-，，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為及．當-時，f′（x）=-3x²+a=-3，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x|x²-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x³+x，
則f′（x）=-3x²+1=-3（x-）（），
令f′（x）=0，得，，
∵[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-）=-（-）³-=，
f（）=-=，
f（1）=-1+1=0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值為，最大值為．
（2）（i）當a=0時，f（x）=x³，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（ii）當a＜0時，f（x）=x³-ax，
∵f′（x）=3x²-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（iii）當a＞0時，①當或時，f（x）=x³-ax，
因為f′（x）=3x²-a=3（x+）（x-），-，，
所以，當或時，f′（x）＞0，
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及．
②當-時，f（x）=-x³+ax，
f′（x）=-3x²+a=-3，
令f′（x）=0，得，x=-，
列表，得

x	（-，-）	-	（）		（）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，．
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為．
點評：本題考查閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．易錯點是分類討論時因分類不清容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．