Question

若函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m為實(shí)常數(shù)）相切，并且從左到右切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列，
（Ⅰ）求m和a的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（x，y）是y=f（x）圖象的對稱中心，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（Ⅲ）寫出函數(shù)y=f（-x）的所有單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax為 ，求出它的最值，圖象與直線y=m相切，所以最值就是m的值，利用公差與周期的關(guān)系即可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即可求出y=f（x）圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
（III）根據(jù)周期求出a的值后，然后利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合整體思想再求函數(shù)f（-x）的單調(diào)增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）
由于y=m與y=f（x）的圖象相切，則；
因?yàn)榍悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為等差數(shù)列，
所以∴2a=4
故a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
，
故
∴，，
∴．；
（Ⅲ）y=f（-x）=．
由得
所以函數(shù)y=f（-x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．
點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，等差數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值，是中檔題．