Question

已知1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，則lg

x3

3 y

的取值范圍是

[

26

15

，3]

．

Answer 1

分析：由于1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，則

1≤lgx-lgy≤2 2≤3lgx- 1 2 lgy≤3

，利于線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)來(lái)求出lg

x3

3 y

=3lgx-

1

3

lgy的范圍．

解答：解：由于1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，則

1≤lgx-lgy≤2 2≤3lgx- 1 2 lgy≤3

，且lg

x3

3 y

=3lgx-

1

3

lgy
若令lgx=a，lgy=b，則問(wèn)題及轉(zhuǎn)化為求在線性約束

1≤a-b≤2 2≤3a- 1 2 b≤3

條件下的Z=3a-

1

3

b的最值問(wèn)題．
畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分所示，

而直線Z=3a-

1

3

b上下平移在虛線位置分別取得最值，
由

a-b=2 3a- 1 2 b=2

得到A(

2

5

，-

8

5

)，此時(shí)Z=

26

15

由

a-b=1 3a- 1 2 b=3

得到B（1，0），此時(shí)Z=3
則lg

x3

3 y

的取值范圍是[

26

15

，3]，
故答案為 [

26

15

，3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及線性規(guī)劃，熟記一些常用的結(jié)論可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算．