Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且AA₁⊥底面ABC，D為CC₁的中點，AB₁與A₁B相交于點O，連結(jié)OD．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作OE⊥AB，交AB于E，連結(jié)CE，由已知條件推導(dǎo)出OECD是長方體，由此能證明OD∥平面ABC．
（2）由ABB₁A₁是正方形，得A1B ⊥AB1，由已知條件推導(dǎo)出CE⊥平面AA₁B，從而OD⊥平面AA₁B，進而AB₁⊥DO，由此能證明AB₁⊥平面A₁BD．

解答： 證明：（1）作OE⊥AB，交AB于E，連結(jié)CE，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且AA₁⊥底面ABC，
D為CC₁的中點，AB₁與A₁B相交于點O，
∴O是A₁B的中點，E是AB中點，
∴OE

∥

.

CD，∴OECD是長方體，
∴OD∥CE，
∵OD不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴OD∥平面ABC．
（2）由題意知ABB₁A₁是正方形，∴A1B ⊥AB1，
由（1）知CE⊥AB，又AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴CE⊥AA₁，又AA₁∩AB=A，
∴CE⊥平面AA₁B，∵DO∥CE，∴OD⊥平面AA₁B，
又AB₁?平面AA₁B，∴AB₁⊥DO，
∵DO∩A₁B=O，∴AB₁⊥平面A₁BD．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．