Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|-m．
（Ⅰ）當m=5時，求f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤2的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）不等式f（x）≤2，即|x+1|+|x-2|≤m+2，利用絕對值三角不等式求得|x+1|+|x-2|≥3，可得m+2≥3，由此求得m的取值范圍．

解答： 解 （1）由|x+1|+|x-2|＞5，可得

x≥2 x+1+x-2＞5

 ①，或

-1≤x＜2 x+1+2-x＞5

 ②，或

x＜-1 -x-1-x+2＞5

③．
解①求得 x＞3，解②求得 x∈∅，解③求得x＜-2，
可解得f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）．
（2）不等式f（x）≤2，即|x+1|+|x-2|≤m+2，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
又f（x）≤2的解集非空，則m+2≥3，∴m≥1，m的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．