Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的值；
（2）若a，b，c成等差數(shù)列，且b=3，求ABB₁A₁面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sinA=2sinAcosB，進(jìn)而可求$cosB=\frac{1}{2}$，結(jié)合B為三角形內(nèi)角，即可得解B的值．
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=a+c=6，利用余弦定理可求ac=9，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵bcosC=（2a-c）cosB，
∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）
∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）
又A+B+C=π，
∴sinA=2sinAcosB，…（4分）
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
又B為三角形內(nèi)角 …（5分）
∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由題意得 2b=a+c=6，…（7分）      
 又  $B=\frac{π}{3}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{{（{a+c}）}^2}-2ac-9}}{2ac}$…（9分）
∴ac=9…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．