Question

設(shè)：P：指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減； Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果P∨Q為真，￢Q也為真，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減，曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于（2a-3）²-4＞0，由此利用復(fù)合命題的關(guān)系能求出a的取值范圍．
解答：解：∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)命題P是真命題時(shí)，0＜a＜1；
當(dāng)命題P是假命題時(shí)，a＞1．
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于（2a-3）²-4＞0，
解得或．
∴當(dāng)命題Q是真命題時(shí)，則或；
當(dāng)命題Q是假命題時(shí)，．
∵P∨Q為真，￢Q也為真，
∴命題P是真命題，即0＜a＜1；
命題Q是假命題，即，
因此，a∈（0，1）∩[，]=[，1），
即，
故a的取值范圍是[，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．