Question

如圖所示，橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知、、成等比數(shù)列，-=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，（其中），則由題意知有a²=2bc．又∵a²+b²=c²，聯(lián)立得b=c．∴a=．
∵，∴2cos45°=2．∴b²=1a²=1．
故橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由?（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∴，
∵．
∴==．
將韋達(dá)定理代入，并整理得，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知，通過、、成等比數(shù)列推斷出a²=2bc，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，利用求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和M，N的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用k₁•k₂=求得b，進(jìn)而可求得直線l與y軸相交的點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．