Question

直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t為參數(shù)），T為直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求點(diǎn)T的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）將曲線(xiàn)C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

3

倍（橫坐標(biāo)不變）后得到曲線(xiàn)W，過(guò)點(diǎn)T作直線(xiàn)m，若直線(xiàn)m被曲線(xiàn)W截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2

3

，求直線(xiàn)m的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線(xiàn)C的普通方程為

x2

6

+

y2

2

=1，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代人上式，解得t的值，可得點(diǎn)T的坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)．
（Ⅱ）依題知，坐標(biāo)變換式為

x′=x y′= 3 y

，可得W的方程為x²+y²=6．分直線(xiàn)m的斜率不存在和直線(xiàn)m的斜率存在兩種情況，分別依據(jù)條件求得直線(xiàn)m的方程，再化為極坐標(biāo)方程．

解答：解：（Ⅰ）曲線(xiàn)C的普通方程為

x2

6

+

y2

2

=1，將

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

代人上式，
整理得t²-4t+4=0，解得t=2，故點(diǎn)T的坐標(biāo)為(

3

， 1)，
故極徑ρ=

3+1

=2，極角θ滿(mǎn)足tanθ=

1

3

=

3

3

，結(jié)合點(diǎn)所在的象限可得θ=

π

6

，
故點(diǎn)T的極坐標(biāo)為(2， 

π

6

)．…（5分）
（Ⅱ）依題知，坐標(biāo)變換式為

x′=x y′= 3 y

，故W的方程為：

x2

6

+

( y 3 )2

2

=1，即x²+y²=6．
當(dāng)直線(xiàn)m的斜率不存在時(shí)，其方程為x=

3

，顯然成立．
當(dāng)直線(xiàn)m的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y-1=k(x-

3

)，即kx-y-

3

k+1=0，
則由已知，圓心（0，0）到直線(xiàn)m的距離為

3

，故

|- 3 k+1|

k2+1

=

3

，
解得k=-

3

3

．此時(shí)，直線(xiàn)m的方程為y=-

3

3

x+2．
綜上，直線(xiàn)m的極坐標(biāo)方程為：ρcosθ=

3

，或ρsinθ+

3

3

ρcosθ=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的變換規(guī)律，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．