Question

已知函數m（x）=2ax²，h(x)=-

2

3

x3+bx，且函數h（x）在x=

6

2

時取極大值，若f（x）=h（x）+m（x）
（1）當a=

1

4

時，求函數f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）令g（x）=ln（x+1）+3-f'（x），若g（x）在(-

1

2

，+∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數h（x）在x=

6

2

時取極大值，可求得h(x)=-

2

3

x3+3x，從而可得當a=

1

4

時，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，求導函數，確定函數的單調性，求出函數的極值與端點函數值比較，即可得到函數的最大值和最小值；
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax，求導函數，利用g（x）在(-

1

2

，+∞)單調遞增，可得a＜

1

4

(

1

x+1

+4x)，根據在(-

1

2

，+∞)上，

1

4

(

1

x+1

+4x)＞0，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數h(x)=-

2

3

x3+bx求導可得：h′（x）=-2x²+b
∵函數h（x）在x=

6

2

時取極大值，
∴h′(

6

2

)=-2×

6

4

+b=0
∴b=3
∴h(x)=-

2

3

x3+3x
∴f（x）=h（x）+m（x）=-

2

3

x3+3x+2ax2
當a=

1

4

時，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x
∴f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，-2≤x≤2，可得-1＜x＜

3

2

；令f′（x）＜0，-2≤x≤2，可得

3

2

＜x≤2或-2≤x＜-1；
∴當x=-1時，f（x）極小值，當x=

3

2

時，f（x）取極大值（6分）
而f(-2)=

4

3

f(2)=

8

3

∴在[-2，2]上，當x=-1時，f(x)min=-

11

6

；當x=

3

2

時，f(x)max=

27

8

（7分）
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax
求導函數，可得g′(x)=

1

x+1

+4x-4a（8分）
在(-

1

2

，+∞)上，x+1＞0
∵g（x）在(-

1

2

，+∞)單調遞增．
∴g′（x）＞0，∴

1

x+1

+4x-4a＞0，即4a＜

1

x+1

+4x
∴a＜

1

4

(

1

x+1

+4x)
∵在(-

1

2

，+∞)上，

1

4

(

1

x+1

+4x)＞0
∴a≤0
∴實數a的取值范圍a≤0

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、極值與最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，屬于中檔題．