Question

4．證明：1＜$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\fracrvb2hph{d+a+c}$＜2（其中a，b，c，d∈R⁺）

Answer 1

分析 通過將分母放大可知$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\fracdmaoyup{d+a+c}$＞1，通過將分?jǐn)?shù)值放大可知$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac77e7ppl{d+a+c}$＜2．

解答 證明：∵a，b，c，d∈R⁺，
∴$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\fracnagnfe7{d+a+c}$
＞$\frac{a}{a+b+c+d}$+$\frac{a+b+c+d}$+$\frac{c}{a+b+c+d}$+$\fracegc7aws{a+b+c+d}$
=$\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$
=1，
$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\fracdyf7it7{d+a+c}$
＜$\frac{a+c}{a+b+c+d}$+$\frac{b+d}{a+b+c+d}$+$\frac{c+a}{a+b+c+d}$+$\frac{d+b}{a+b+c+d}$
=$\frac{2（a+b+c+d）}{a+b+c+d}$
=2，
∴1＜$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\fracejma2wj{d+a+c}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．