Question

（2005•普陀區(qū)一模）求證：不存在虛數(shù)z同時(shí)滿足：①|(zhì)z-1|=1；②k•z²+z+1=0（k為實(shí)數(shù)且k≠0）．

Answer 1

分析：由已知中虛數(shù)z同時(shí)滿足：①|(zhì)z-1|=1；②k•z²+z+1=0，我們?cè)O(shè)z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），并構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，進(jìn)而根據(jù)方程組無(wú)滿足條件的解，得到結(jié)論．

解答：解：假設(shè)存在虛數(shù)z=a+bi（a，b∈R，且b≠0）同時(shí)滿足兩個(gè)條件，
即

(a-1)2+b2=1 z+ . z =2a=- 1 k z• . z =|z|2=a2+b2= 1 k

⇒

a2+b2-2a=0 a2+b2+2a=0

⇒a=b=0
與假設(shè)b≠0矛盾，
∴不存在虛數(shù)z同時(shí)滿足①②兩個(gè)條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，其中利用反證法，是證明此類存在性問(wèn)題最常用的方法．