Question

如圖（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，點D為AP的中點，點E、F、G分別這PC、PD、CB的中點，將三角形PCD沿CD折起，使點P在平面ABCD內(nèi)的射影為點D，如圖（2）．
（1）求證：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的絕對值．

Answer 1

分析：（1）要證PA∥平面EFG，可以證明PA所在平面與平面FEG平行即可．
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的絕對值．建立空間直角坐標系，利用法向量的數(shù)量積求解即可．

解答：解：由題意，將△PCD沿CD折起后，PA⊥平面ABCD．四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PD=2．
（1）因為點E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，
所以EF∥CD，EG∥PB．
又因為CD∥AB，所以EF∥AB，因為AB?平面EFG，
EF?平面EFG，所以AB∥平面EFG，
同理PBAB∥平面EFG，又因為PB∩AB=B，
所以平面EFG∥平面PAB，PA?平面PAB，
所以PA∥平面EFG．
（2）建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，
則D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），

DF

=(0，0，1)，

DG

=(1，2，0)，

EF

=(0，-1，0)，

EG

=(1，1，-1).
求出平面DFG的法向量m=（-2，1，0），
平面EFG的法向量，n=（1，0，1）．
所以|cos?m，n?|=

|m•n|

|m||n|

=

10

5

.

點評：本題考查空間平面與平面之間的位置關系，空間直角坐標系，法向量，數(shù)量積等知識，是難題．