Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．
（1）求點E到平面ADB的距離；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1），，，設平面ADB的法向量為得：可取法向量為，則點E到平面ADB的距離．
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，
設平面A₁ED的法向量為，則，平面A₁BD的法向量為，則，
所以，即求二面角E-A₁D-B的余弦值為．
（3）假設存在點F，坐標為（0，y，0），則，EF⊥平面A₁DB得，F(xiàn)（0，1，0），F(xiàn)即為AC中點．
解答：解：（1）如圖所示，以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸建立空間直角坐標系，由C₁C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．
則，，
設平面ADB的法向量為得
即
則取法向量為，
則點E到平面ADB的距離．（3分）
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）
可得，，
設平面A₁ED的法向量為，
故可令，A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
可得，，
設平面A₁BD的法向量為，
故可令，
∴，
即求二面角E-A₁D-B的余弦值為；（6分）
（3）假設存在點F，坐標為（0，y，0），
則，
EF⊥平面A₁DB得，即，
∴F（0，1，0）F即為AC中點．（10分）
點評：本小題考查空間中的線面關系，直線與平面所成的角、點到面的距離、二面角、解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．