已知實數(shù)a滿足1<a≤2,設函數(shù)f (x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ) 當a=2時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同,求證:g(x)的極大值小于等于10.
【答案】分析:(Ⅰ)將a=2代入到解析式中,并求導.令f′(x)=0,求出極值點,并列表判斷極大值極小值點.
(Ⅱ)一方面,利用(Ⅰ)的結論,找出f(x)的極小值點a,即為g(x)的極小值點.另一方面,對g(x)求導,求出極小值點.再建立等式,即a=,得到a,b的關系式.由a的范圍算出極大值g(1)的范圍,從而得證.
解答:解:(Ⅰ)當a=2時,f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)
f′(x)+-+
f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增
所以,f(x)的極小值為f(2)=
(Ⅱ)f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
由于a>1,
所以f(x)的極小值點x=a,則g(x)的極小值點也為x=a、
而g′(x)=12x2+6bx-6(b+2)=6(x-1)(2x+b+2),
所以,
即b=-2(a+1).
又因為1<a≤2,
所以g(x)極大值=g(1)
=4+3b-6(b+2)
=-3b-8
=6a-2≤10.
故g(x)的極大值小于等于10.
點評:在高中階段,導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要而有效的工具之一,包括函數(shù)的單調性,極值,最值等,本題就是利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值.近兩年的高考題中,對導數(shù)部分的考查是越來越常見,其重要性也不言而喻.
練習冊系列答案
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1
3
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a+1
2
x2+ax.
(Ⅰ) 當a=2時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同,求證:g(x)的極大值小于等于10.

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[  ]

A.P且Q”為真命題;

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D.P或Q”為真命題

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