Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），給出下列命題：
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）成中心對(duì)稱；
（2）當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）是遞增函數(shù)；
（3）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）的最大值為

a2

4

+b．
其中正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=0代入f（x），設(shè)M（x，y）是函數(shù)上的任意一點(diǎn)，驗(yàn)證關(guān)于（0，b）對(duì)稱的點(diǎn)N（-x，2b-x）在函數(shù)f（x）的圖形上．
（2）當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x²-ax+b，結(jié)合二次函數(shù)在（a．+∞）的圖象可判斷
（3）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=-x²+ax+b，結(jié)合二次函數(shù)在[0，a]的圖象判斷

解答：解：（1）a=0，f（x）=x|x|+b，設(shè)M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意一定，則關(guān)于（0，b）對(duì)稱的點(diǎn)N（x′，y′），則

x=-x′ y=2b-y′

 代入可得①正確
（2）x＞a，f（x）=x²-ax+b，當(dāng)a＞0時(shí)，在（a，+∞）遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，在（a，+∞）先減后增，②錯(cuò)
（3）0≤x≤a，f（x）=-x²+ax+b，函數(shù)的對(duì)稱軸x=

a

2

，
a＞0時(shí)，a＞

a

2

，函數(shù)在(0，

a

2

)遞增，在(

a

2

，a)上遞減，函數(shù)在x=

a

2

取最大值

a2

4

+b③正確
故答案為：（1）（3）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值的求解，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行解題．