Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），給出下列命題：
（1）當a=0時，f（x）的圖象關于點（0，b）成中心對稱；
（2）當x＞a時，f（x）是遞增函數(shù)；
（3）當0≤x≤a時，f（x）的最大值為

a2

4

+b．
其中正確的序號是

 

．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x），設M（x，y）是函數(shù)上的任意一點，驗證關于（0，b）對稱的點N（-x，2b-x）在函數(shù)f（x）的圖形上．
（2）當x＞a時，f（x）=x²-ax+b，結(jié)合二次函數(shù)在（a．+∞）的圖象可判斷
（3）當0≤x≤a時，f（x）=-x²+ax+b，結(jié)合二次函數(shù)在[0，a]的圖象判斷

解答：解：（1）a=0，f（x）=x|x|+b，設M（x，y）是函數(shù)圖象上的任意一定，則關于（0，b）對稱的點N（x′，y′），則

x=-x′ y=2b-y′

 代入可得①正確
（2）x＞a，f（x）=x²-ax+b，當a＞0時，在（a，+∞）遞增，當a＜0時，在（a，+∞）先減后增，②錯
（3）0≤x≤a，f（x）=-x²+ax+b，函數(shù)的對稱軸x=

a

2

，
a＞0時，a＞

a

2

，函數(shù)在(0，

a

2

)遞增，在(

a

2

，a)上遞減，函數(shù)在x=

a

2

取最大值

a2

4

+b③正確
故答案為：（1）（3）

點評：本題綜合考查了函數(shù)的對稱性、函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值的求解，解決本題的關鍵是要熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用性質(zhì)進行解題．