Question

某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新．證明：須在第9年初對(duì)M更新．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n＜6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為﹣10的等差數(shù)列
a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n
當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{a_n}是以a₆為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
又a₆=70
所以
因此，第n年初，M的價(jià)值a_n的表達(dá)式為
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差、等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n﹣5n（n﹣1），A_n=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n
當(dāng)n≥7時(shí)，由于S₆=570
故S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）
==
因?yàn)閧a_n}是遞減數(shù)列，所以{A_n}是遞減數(shù)列，
又
所以須在第9年初對(duì)M更新．