Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，左右頂點分別為A，B，離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過定點（

3

，

3

2

），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點M（x₀，y₀）（x₀≠1，y₀＞0）是圓O：x²+y²=a²上的任意一點，連結AM，交橢圓C于P，記直線MF，PB的斜率分別為k₁，k₂．
①當k₂=-

3

4

時，求k₁的值；
②求

k1

k2

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）①由題意知M（x₀，y₀），（x₀≠1，y₀＞0），A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)（1，0），P（2cosθ，

3

sinθ），從而得到k1=

y0

x0-1

，k2=

3 sinθ

2cosθ-2

=-

3

4

，x02+y02=4，由此能求出k₁．
②設PA的斜率為k₃，則k3=

3 sinθ

2cosα+2

=

y0

x0+2

，由此得到

k1

k2

=

k1k3

k2k3

=

y0 x0-1 • y0 x0+2

- 3 4

=-

4

3

（-1+

1

x0-1

），從而利用x₀∈（-2，1）∪（1，2），能求出

k1

k2

∈(-∞，0)∪(

16

9

，+∞)．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，
離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過定點（

3

，

3

2

），
∴

c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）①由題意知M（x₀，y₀），（x₀≠1，y₀＞0），
A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)（1，0），P（2cosθ，

3

sinθ），
∴k1=

y0

x0-1

，k2=

3 sinθ

2cosθ-2

=-

3

4

，x02+y02=4，
解得cosθ=-

1

7

，或cosθ=1（舍），∴sinθ=

4 3

7

，
∵點P在直線AM上，∴

3 sinθ

2cosθ+2

=

y0

x0+2

，
解得x₀=0，y₀=2，或x₀=-2，y₀=0（舍），
∴k1=

y0

x0-1

=

2

0-1

=-2．…（8分）
②設PA的斜率為k₃，則k3=

3 sinθ

2cosα+2

=

y0

x0+2

，
∴k2k3=

3 sinθ

2cosθ-2

•

3 sinθ

2cosθ+2

=-

3

4

，
∴

k1

k2

=

k1k3

k2k3

=

y0 x0-1 • y0 x0+2

- 3 4

=-

4

3

•

y0

x0-1

•

y0

x0+2

=-

4

3

•

2-x0

x0-1

=-

4

3

（-1+

1

x0-1

），
∵x₀∈（-2，1）∪（1，2），
∴

k1

k2

∈(-∞，0)∪(

16

9

，+∞)．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的求法，考查兩直線斜率的比值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運用．