已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b2
(1)若-2≤a≤4,-2≤b≤4(a,b∈Z),求等式f(x)>0的解集為R的概率;
(2)若|a|≤1,|b|≤1,求等式f(x)>0的解集為R的概率.
【答案】
分析:(1)本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的事件是從兩個集合中各取一個數(shù)字,共有49種結(jié)果,滿足條件的事件是不等式f(x)>0的解集為R,即a
2≥4b
2,列舉出所有的事件數(shù),根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果.
(2)由已知|a|≤1,|b|≤1,我們可以求出(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域的面積,若不等式f(x)>0的解集為R,即a
2-4b
2<0,即|a|<|2b|,我們也可以求出滿足條件的平面區(qū)域的面積,代入幾何概型概率公式,即可求出答案.
解答:解:(1)滿足條件的不等式共有49個
不等式解集為R的條件是a
2-4b
2<0
a=-2時b=-2,2,3,4
a=-1時b=-2,-1,1,2,3,4
a=0時b=-2,-1,1,2,3,4
a=1時b=-2,-1,1,2,3,4
a=2時b=-2,2,3,4
a=3時b=-2,2,3,4
a=4時b=3,4
所以滿足等式f(x)>0的解集為R的不等式有32個
故等式f(x)>0的解集為R的概率是
;
(2)點(a,b)滿足的區(qū)域是一個邊長為2的正方形,
面積為4,不等式f(x)>0解集為R的條件是△=a
2-4b
2<0
即
或
∴當f(x)>0解集為R時,點(a,b)的區(qū)域如圖(陰影部分),
其面積為4-2×
×|x|=3
∴不等式f(x)>0解集為R的概率P=
點評:本題考查等可能事件的概率,考查一元二次方程的解,考查列舉法的應(yīng)用,是一個綜合題目,本題解題的關(guān)鍵是弄清楚一元二次方程解的情況.幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”,可以為線段長度、含面積、體積等,而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān),而與形狀和位置無關(guān).解決的步驟均為:求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N(A),再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N,最后根據(jù)P=N(A)/N求解,屬中檔題.