Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+

3

2

對(duì)一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是奇函數(shù)求出b=0，再利用0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．得到c=-4．再由f（1）＜f（3）?a＞0利用不等式的解集有對(duì)應(yīng)方程的根決定進(jìn)而求出a．
（2）轉(zhuǎn)化為求f（x）在[-3，-1]上的最大值，由（1）知，f（x）在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數(shù)故最大值為

3

2

，所以須有

3

2

＜

3

2

-m²?實(shí)數(shù)m不存在．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)的一切x都成立，即b=0．
從而f（x）=

1

a

（x+

c

x

）．
又∵

f(2)≥0 f(-2)≥0

，即

f(2)≥0 -f(2)≥0

∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得

a＞0 c＜3

或

a＜0 c＞3

從而a＞0．
此時(shí)f（x）=

1

a

（x-

4

x

）
在[2，4]上是增函數(shù)．
注意到f（2）=0，則必有f（4）=

3

2

，
∴

1

a

（4-

4

4

）=

3

2

，即a=2．
綜上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=

1

2

（x-

4

x

），
該函數(shù)在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數(shù)．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域?yàn)?span id="o7bzt0p" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

5

6

，

3

2

]．
符合題設(shè)的實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足

3

2

-m²＞

3

2

，即m²＜0，
故符合題設(shè)的實(shí)數(shù)m不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．若已知一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，則應(yīng)有其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．