Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），其中m為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅱ）證明：當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞），
∴，令f'（x）=0，得x=1-m．------------（2分）
當(dāng)x∈（-m，1-m）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，f（x）＞f（1-m）
當(dāng)x∈（1-m，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，f（x）＞f（1-m）---（4分）
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，
而且對(duì)x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m．
故當(dāng)m≤1時(shí)，f（x）≥0．---------------（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)m＞1時(shí)，f（1-m）=1-m＜0，
函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上為減函數(shù)．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
所以當(dāng)m＞1時(shí)，f（e^-m-m）與f（1-m）異號(hào)．
由函數(shù)零點(diǎn)判定定理知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（e^-m-m，1-m）內(nèi)有唯一零點(diǎn)．----------（9分）
而當(dāng)m＞1時(shí)，f（e^2m-m）=e^2m-3m．
令g（x）=e^2x-3x（x＞1），則g′（x）=2e^2x-3（x＞1）＞2e²-3＞0，
那么函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增．于是g（x）＞g（1）=e²-3＞0，從而f（e^2m-m）=e^2m-3m＞0．--（11分）
所以，當(dāng)整數(shù)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m）在[1-m，e^2m-m]上為增函數(shù)且f（1-m）與f（e^2m-m）異號(hào)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1-m，e^2m-m]內(nèi)也有唯一零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．------------（14分）
分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）=0，得x=1-m，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得f（1-m）=1-m為極小值，而且對(duì)x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m，故可得解；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上為減函數(shù)，，f（e^-m-m）與f（1-m）異號(hào)．由函數(shù)零點(diǎn)判定定理知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（e^-m-m，1-m）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)m＞1時(shí)，f（e^2m-m）=e^2m-3m．
令g（x）=e^2x-3x（x＞1），則函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增，m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m）在[1-m，e^2m-m]上為增函數(shù)且f（1-m）與f（e^2m-m）異號(hào)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1-m，e^2m-m]內(nèi)也有唯一零點(diǎn)，從而得證．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)判定定理