Question

已知函數(shù)f（x）=

a+lnx

x

在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的極值；
（2）如果對任意x₁、x₂∈[e²，+∞]，有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的極值；
（2）根據(jù)不等式單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1 x •x-(a+lnx)

x2

=

1-a-lnx

x2

，
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（0）=

1-a-ln1

12

=0，
∴a=1，
∴f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，f′（x）=-

lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值
（2）由（1）的結(jié)論知，f（x）在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，不妨設(shè)x₁≥x₂≥e²，
則|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，?f（x₂）-f（x₁）≥k（

1

x2

-

1

x1

），
?f（x₂）-k•

1

x2

≥f（x₁）-k•

1

x1

，
?函數(shù)F（x）=f（x）-

k

x

=

1+lnx

x

-

k

x

在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，
則F′（x）=

k-lnx

x2

≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立，
在[e²，+∞）上，（lnx）_min=lne²=2，
故k≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，以及函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．