Question

已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)f（x）的周期為2π
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱

Answer 1

【答案】分析：將函數(shù)解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期，即可對于選項A作出判斷；由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可對于選項B作出判斷；由正弦函數(shù)的對稱軸為kπ+，k∈Z，即可對于選項C作出判斷；由正弦函數(shù)的對稱中心為kπ，k∈Z，即可對于選項D作出判斷．
解答：解：f（x）=cosxsinx-cos²x=sin2x-（cos2x+1）=sin（2x-）-，
∵ω=2，∴T=π，故選項A錯誤；
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，0]，
當2x+∈[-，-]時，f（x）單調(diào)遞減；當2x+∈[-，0]時，f（x）單調(diào)遞增，
故選項B錯誤；
令2x-=kπ+，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
當k=-1時，x=-，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-對稱，故選項C正確；
令2x-=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
∴當k=0時，x=，可得函數(shù)圖象關(guān)于（，-）對稱，故選項D錯誤，
故選C
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．