Question

設(shè)F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0（O為坐標(biāo)原點），且tan∠PF₂F₁=2，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：利用向量知識，確定△OPF₂是等腰三角形，進(jìn)而判斷△PF₁F₂是直角三角形，PF₁⊥PF₂，利用tan∠PF₂F₁=2，確定幾何量之間的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：由已知，∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，
∴|0P|=|OF₂|，
∴△OPF₂是等腰三角形
連接PF₁，則OP=

1

2

|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是直角三角形，PF₁⊥PF₂，
設(shè)|PF₂|=x，∵tan∠PF₂F₁=2，
∴|PF₁|=2x，
∴|F₁F₂|=

5

x=2c，
由雙曲線定義，|PF₁|-|PF₂|=x=2a
∴雙曲線的離心率為

c

a

=

2c

2a

=

5 x

x

=

5

故選D．

點評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，確定幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．