Question

已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)C：y²＝2ps(p＞0)

的焦點(diǎn)F在直線(xiàn)l：x－my－＝0上．

(Ⅰ)若m＝2，求拋物線(xiàn)C的方程

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分別為G，H

求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的焦點(diǎn)在以線(xiàn)段GH為直徑的圓外．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力． 　　(Ⅰ)解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F(，0)在直線(xiàn)l上， 　　得 　　又m＝2，故 　　所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為 　　設(shè)A(x1，y1)，　B(x2，y2) 　　由消去x得 　　y2－2m3y－m4＝0， 　　由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0， 　　且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4， 　　設(shè)M1，M2分別為線(xiàn)段AA1，BB1的中點(diǎn)， 　　由于2 　　可知G()，H()， 　　所以 　　 　　所以GH的中點(diǎn)M． 　　設(shè)R是以線(xiàn)段GH為直徑的圓的半徑， 　　則 　　設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交點(diǎn)N， 　　則 　　＝m4(m4＋8m2＋4) 　�。�m4[(m2＋1)(m2＋4)＋3m2] 　�。�m2(m2＋1)(m2＋4)＝R2． 　　故N在以線(xiàn)段GH為直徑的圓外．