【題目】在斜三棱柱中,,側(cè)面是邊長為4的菱形,,,、分別為、的中點.
(1)求證:平面;
(2)若,求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析; (2) .
【解析】
(1)結(jié)合菱形的性質(zhì)和勾股定理,證得,再由,得到,利用線面垂直的判定定理,即可證得平面;
(2)以為坐標(biāo)原點,以射線為軸,以射線為軸,過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面和的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)由題意,因為是菱形,,為中點,所以.
又因為是直角三角形的斜邊的中線,
故,又,,
所以,所以是直角三角形,∴,
因為,所以平面,所以,
又因為,,所以,所以平面.
(2)由(1)知平面,因為平面,所以平面平面,
又由,所以平面,
以為坐標(biāo)原點,以射線為軸,以射線為軸,過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則軸,
則,,,,,
,,,
由(1)知平面,∴平面的法向量,
設(shè)平面的法向量,,,
則,即,
令,則,.即,
所以,
所以,
故二面角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若存在極大值,證明:;
(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知定點,點在軸上運動,點在軸上運動,點為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點,且滿足,.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過曲線第一象限上一點(其中)作切線交直線于點,連結(jié)并延長交直線于點,求當(dāng)面積取最小值時切點的橫坐標(biāo).
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【題目】“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者,有那么一群孩子在一塊麥田里玩,幾千萬的小孩子,附近沒有一個大人,我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者,如圖所示,為了分割麥田,他將連接,設(shè)中邊所對的角為,中邊所對的角為,經(jīng)測量已知,.
(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長,為一個定值,請你驗證霍爾頓的結(jié)論,并求出這個定值;
(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān),記與的面積分別為和,為了更好地規(guī)劃麥田,請你幫助霍爾頓求出的最大值.
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【題目】已知四棱錐中,底面是正方形,平面,,是的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大小;
(3)試判斷所在直線與平面是否平行,并說明理由.
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【題目】已知點,分別是橢圓的左頂點和上頂點,為其右焦點,,且該橢圓的離心率為;
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點為橢圓上的一動點,且不與橢圓頂點重合,點為直線與軸的交點,線段的中垂線與軸交于點,若直線斜率為,直線的斜率為,且(為坐標(biāo)原點),求直線的方程.
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【題目】已知為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,有,且當(dāng)時,,下列命題正確的是( )
A.B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)
C.直線與函數(shù)的圖象有個交點D.函數(shù)的值域為
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【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),當(dāng)函數(shù)與的圖象有三個不同的交點時,求實數(shù)的取值范圍.
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