Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求y=g（x）-f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求a的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
當(dāng)x=1時(shí)，y=ln1-1³+3×1=2．
，y^′|_x=1=1．
所以切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得在[1，2]上恒成立．
設(shè)g（x）=，則，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
②當(dāng)a＞0時(shí)，，
（ⅰ）當(dāng)，即a≥1時(shí)，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時(shí)F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當(dāng)，即0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，]上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
1°當(dāng)f（1）=1-3a≤0，即時(shí)，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，]上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，；
2°當(dāng)f（1）=1-3a＞0，即時(shí)，
（ⅰ）當(dāng)，即0＜a時(shí)，F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，．
綜上 ．
分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x），得到函數(shù)y=g（x）-f（x）的解析式，求出x=1時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出f^′（1），利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）把在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方轉(zhuǎn)化為x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，把參數(shù)a分離出后構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)函數(shù)求該函數(shù)的最小值，則a的范圍可求；
（3）經(jīng)分析可知函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)在[-1，1]上的最大值可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在[0，1]上的最大值，當(dāng)a小于等于0時(shí)函數(shù)f（x）[0，1]上恒大于0且單調(diào)遞增，問題極易解決，當(dāng)a大于0時(shí)，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)a的具體范圍分段，然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)h（x）的最大值情況．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上在某點(diǎn)的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確的分類是解答該題的關(guān)鍵，此題屬難題．