已知函數(shù)f(x)=
sinπx(x2+1)(x2-2x+2)
．（1）那么方程f（x）=0在區(qū)間[-2009，2009]上的根的個數(shù)是
202
202
；（2）對于下列命題：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值；③函數(shù)f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸；④對于任意x∈（-1，0），函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）＜0．其中真命題的序號是
②③
②③
．（填寫出所有真命題的序號）
分析：觀察函數(shù)的解析式f(x)=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
它不是一個奇函數(shù)，由于分子的值從-1到1周期性變化，分母的值隨著x的值遠離原點，逐漸趨向于正無窮大，函數(shù)圖象逐漸靠近x軸，由這些性質(zhì)對四個命題進行判斷選出正確選項
解答：解：（1）由于分母恒正，所以方程f（x）=0等價于sinπx=0，由于周期為T=2，故在區(qū)間[-2009，2009]上的根的個數(shù)是4019個；（2）①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)不正確，因為分母隨著自變量的遠離原點，趨向于正窮大，所以函數(shù)圖象無限靠近于X軸，故不是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值，由①的判斷知，函數(shù)存在最大值與最小值，此命題正確；③函數(shù)f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸，由函數(shù)解析式可以得出，其圖象周期性穿過X軸，由于分母不斷增大，圖象往兩邊延伸都無限靠近于X軸，其對稱軸是x=
1
2
，此命題正確；④對于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），此命題不正確，由于自變量從-1變化到0分母變小，而分子由0減小到-1，再由-1增大到0，所以函數(shù)值的變化是選減小再增大，故導數(shù)恒小于0不成立．此命題不正確．綜上，②③正確
故答案為4019；②③
點評：考查了函數(shù)思想，轉化思想，屬中檔題，是個基礎題．還考查函數(shù)圖象的對稱變化和一元二次方程根的問題，以及函數(shù)奇偶性的判定方法等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力，數(shù)形結合法是解答本類題的重要方法．本題函數(shù)解析式復雜，不利于判斷
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時有x2∈S，給出下列四個結論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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