(2011•成都一模)已知函數(shù)f(x)=x3+(4-a)x2-15x+a,a∈R.
(I)若點P(0,-2)在函數(shù)f(x)的圖象上,求a的值和函數(shù)f(x)的極小值;
(II)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上是單調遞減函數(shù),求a的最大值.
分析:(I)根據(jù)點P(0,-2)在函數(shù)f(x)的圖象上,可得a=-2,從而f(x)=x3+6x2-15x-2,利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間,從而可得函數(shù)f(x)的極小值;
(II)先求導函數(shù)f′(x)=3x2+2(4-a)x-15要使函數(shù)f(x)在(-1,1)上是單調遞減函數(shù),則f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,從而可得不等式,解之即可得到a的最大值.
解答:解:(I)∵點P(0,-2)在函數(shù)f(x)的圖象上
∴a=-2
∴f(x)=x3+6x2-15x-2
∴f′(x)=3x2+12x-15=3(x-1)(x+5)
令f′(x)=0,解得x=-5或x=1
令f′(x)<0,解得-5<x<1,∴函數(shù)的單調減區(qū)間為(-5,1)
令f′(x)>0,解得x<-5或x>1,∴函數(shù)的單調增區(qū)間為(-∞,-5),(1,+∞)
∴x=1時,函數(shù)f(x)取到極小值為f(x)=1+6-15-2=-10
(II)f′(x)=3x2+2(4-a)x-15
要使函數(shù)f(x)在(-1,1)上是單調遞減函數(shù),則f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立
f′(-1)≤0
f′(1)≤0

3-2(4-a)-15≤0
3+2(4-a)-15≤0

2a-20≤0
-2a-4≤0

∴-2≤a≤10
∴a的最大值為10.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查導數(shù)的運用,考查函數(shù)的極值,同時考查學生分析解決問題的能力,解題時,將函數(shù)f(x)在(-1,1)上是單調遞減函數(shù),轉化為f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立是關鍵.
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