Question

（2010•上海模擬）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值為M，最小值為m，給出下列五個(gè)命題：
①若對(duì)任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，m]；
②若對(duì)任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，M]；
③若關(guān)于x的方程p=f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是[m，M]；
④若關(guān)于x的不等式p≤f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，m]；
⑤若關(guān)于x的不等式p≤f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，M]；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：這是一個(gè)對(duì)不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念題．對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別加以判斷，發(fā)現(xiàn)在①②中，得出①正確②錯(cuò)誤，④⑤中得出⑤正確④錯(cuò)誤，而不難發(fā)現(xiàn)③是一個(gè)真命題，由此可得正確答案．

解答：解：對(duì)任何x∈[a，b]都有p≤f（x），說明p≤f（x）的最小值，
結(jié)合題意知p≤m，①是正確的；
由于①正確，所以②是一個(gè)錯(cuò)誤的理解，就不正確了；
關(guān)于x的方程p=f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，
說明p應(yīng)屬于函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域[m，M]內(nèi)，故③是正確的；
關(guān)于x的不等式p≤f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，說明p小于或等于的最大值，
所以④是錯(cuò)誤的，而⑤是正確的
正確的選項(xiàng)應(yīng)該為①③⑤
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．不等式或方程解集非空，只要考慮有解；而不等式恒成立說明解集是一切實(shí)數(shù)，往往要考慮函數(shù)的最值了．