Question

已知：偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)：在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反即可得出其在（-∞，0）上的單調(diào)性；再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明結論即可．
解答：解：因為偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，0）是減函數(shù)．
證明如下：若-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．
由于偶函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題．這一類型題目，主要是考查偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同這一結論．