Question

14．已知橢圓C的右焦點(diǎn)F（1，0），過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，|AB|=3．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)T，使得$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$為定值？若存在，求出點(diǎn)T坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0．，由已知可得：$\frac{2^{2}}{a}$=3，c=1，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)T（t，0），當(dāng)直線AB斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線AB為x=my+1，將直線方程代入C得（4+3m²）y²+6my-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=$\frac{（6t-15）{m}^{2}-9}{4+3{m}^{2}}$+t²-2t+1，要使$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$為定值須有$\frac{6t-15}{3}$=$\frac{-9}{4}$，得t，即可得出；當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$直接得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
由已知可得：$\frac{2^{2}}{a}$=3，c=1，
又a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}$，
故所求橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)T（t，0），
當(dāng)直線AB斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線AB為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將x=my+1代入C得（4+3m²）y²+6my-9=0，
顯然△＞0，且y₁+y₂=$\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{8}{4+3{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂=$\frac{（6t-15）{m}^{2}-9}{4+3{m}^{2}}$+t²-2t+1，
要使$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$為定值須有$\frac{6t-15}{3}$=$\frac{-9}{4}$，得t=$\frac{11}{8}$，
此時(shí)T（$\frac{11}{8}$，0），$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$為定值-$\frac{135}{64}$．
當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=-$\frac{135}{64}$．
故存在點(diǎn)T（$\frac{11}{8}$，0）滿足題設(shè)．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．