Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a≠0），過P（1，0）作f（x）圖象的切線l．
（1）當(dāng)a=-2時，求出所有切線l的方程．
（2）探求在a≠0的情況下，切線l的條數(shù)．
（3）如果切線l有兩條，切點(diǎn)分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-2時，得出函數(shù)的解析式，驗(yàn)證知點(diǎn)P不在曲線上，故設(shè)出切點(diǎn)M₀（x₀，y₀），求出此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)寫出點(diǎn)斜式方程，再由此點(diǎn)在曲線上，代入曲線方程，兩個方程聯(lián)立求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可以求出切線的斜率由此即得所有切線l的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)參數(shù)a的取值范圍對導(dǎo)數(shù)有解的情況進(jìn)行分析，有幾個解則有幾條切線；
（3）如果切線l有兩條，切點(diǎn)分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），則x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，由此可以求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，再用兩點(diǎn)間距離公式求出g（a）的表達(dá)式將兩根之和與兩根之積代入即可．|

解答：解：（1）．當(dāng)a=-2時，f（x）=x+

2

x

，所以P不在f（x）的圖象上，設(shè)切點(diǎn)為M₀（x₀，y₀）
∵f′（x）=1+

2

x2

，∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

2

x0

，代入整理得：x₀²-4x₀+2=0，即x₀=2±

2

，
∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=1+

1

3±2 2

∴切線l的方程：y=（1+

1

3±2 2

）（x-1）
（2）．f′（x）=1-

a

x2

只有當(dāng)a=-1時，點(diǎn)P在f（x）的圖象上，
∴只有當(dāng)a=-1時，P可以是切點(diǎn)且l的方程：y=2x-2．
當(dāng)P是不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為M₀（x₀，y₀），x₀≠0，
∵f′（x）=1-

a

x2

，∴f′（x₀）=1-

a

x2

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

a

x0

，代入整理得：x₀²+2ax₀-a=0，，┉①
△=4a²+4a，經(jīng)檢驗(yàn)，x₀=1不滿足方程．
當(dāng)a＞0或a＜-1時，△＞0，切點(diǎn)有兩個；
當(dāng)-1＜a＜0時，△＜0，沒有切點(diǎn)；
綜上所述：
當(dāng)-1＜a＜0時，沒有切線l存在；
當(dāng)a=-1時，只有一條切線l；
當(dāng)a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在
（3）由（2）問可知，當(dāng)a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在．
由①式可知：x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+

a

x1

，y₂=x₂+

a

x2

∴g（a）=\M₁M₂\=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

(x1-x2)2[1+(1- a x1x2 )2]?

=

5(x1-x2)2?

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]?

=2

5(a2+a)

∴g（a）=2

5(a2+a)

，a＞0或a＜-1

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線切線的幾何特征建立方程求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在第二問中由于參數(shù)的取值范圍不同會對導(dǎo)數(shù)解的個數(shù)有影響，故需要對其有幾個根進(jìn)行研究，對參數(shù)分類討論，三中關(guān)鍵是判斷出此時兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所得方程的兩個根，利用根系關(guān)系將兩根之和與兩根之積表示出來，以達(dá)到用參數(shù)表示出g（a）的目的，本題容易因?yàn)闆]有驗(yàn)證點(diǎn)P是否在曲線上導(dǎo)致問題無法求解，所給的點(diǎn)是切點(diǎn)與不是切點(diǎn)，其求法是不一樣的，對此可以參考本題第二小題．