Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，點M、N分別是CC₁、BC的中點，動點P在線段A₁B₁上，且滿足．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求證：PN⊥AM恒成立；
（3）當λ=1時，線段AB上是否存在Q使得，若存在，求出點Q的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，∴A₁A⊥AB，
又∵AC⊥AB，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥AM，
∴∠MAC即為二面角M-AB-C的平面角．
∵AC=1，則CM=，∴AM==．
∴=．
（2）取AC的中點K，連接NK、A₁K．則NK∥AB．
由（1）可知：NK⊥平面ACC₁A₁．
∴NK⊥AM．
在正方形ACC₁A₁中，由△A₁AK≌△ACM，可得∠MAC=∠KA₁A，
∴，即AM⊥A₁K．
又NK∩A₁K=K，
∴AM⊥A₁PNK．
∴PN⊥AM．
（3）當λ=1時，假設線段AB上存在Q使得?點M到底面ANP的距離=2點Q到底面ANP的距離．下面通過建立空間直角坐標系來證明．
建立如圖所示的坐標系．
則A（0，0，0），P，，M．
，，．
設Q（0，k，0），則-1≤k≤0，．
設平面ANP的法向量為=（x，y，z）．
則即，令z=1，則x=y=2，
∴．
∴，得，解得，不滿足條件-1≤k≤0，因此線段AB上不存在Q使得．
分析：（1）利用線面垂直的判定和性質定理及二面角的定義即可得出；
（2）利用正方形的性質、三角形全等、線面垂直的判定和性質即可證明；
（3）通過結論空間直角坐標系，利用點到平面的距離公式即可得出．
點評：熟練掌握線面垂直的判定和性質定理及二面角的定義、正方形的性質、三角形全等、三棱錐的條件計算公式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．