Question

已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，它們的一個(gè)交點(diǎn)為P，且∠F₁PF₂=120⁰，則該橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿(mǎn)足的關(guān)系式為

1. A.
   =1
2. B.
   =1
3. C.
   =1
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論
解答：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a ②
又∠F₁PF₂=120⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁||PF₂|=4c² ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
將④⑤代入③得3a²+m²=4c²，即，即=1
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用余弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿(mǎn)足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿(mǎn)足的方程來(lái)．