Question

（2008•湖北模擬）在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(-1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈[0，

π

2

]．（1）若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，則θ=

π

4

，（2）△OAB的面積最大值為

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，知

(sinθ-1)2+(1+cosθ)2

=

(-1-sinθ)2+(cosθ-1)2

，整理，得sinθ=cosθ，由收費(fèi)能求出θ．
（2）在直角坐標(biāo)系里，△OAB的面積=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

[cosθ×（-1）]-

1

2

（1-sinθ）（1+cosθ），利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大值．

解答：解：（1）∵A(-1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈[0，

π

2

]，
∴

OA

+

OB

=(sinθ-1，1+cosθ)，

OA

-

OB

=(-1-sinθ，cosθ-1)，
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴

(sinθ-1)2+(1+cosθ)2

=

(-1-sinθ)2+(cosθ-1)2

，
整理，得sinθ=cosθ，
∴θ=

π

4

．
（2）S_△OAB=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

[cosθ×（-1）]-

1

2

（1-sinθ）（1+cosθ）
=

1

2

+

1

2

sincosθ=

1

2

+

1

4

sin2θ，
因?yàn)棣取剩?，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以當(dāng)2θ=π即θ=

π

2

時(shí)，sin2θ最小，
三角形的面積最大，最大面積為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二倍角公式的合理運(yùn)用．