Question

已知函數(shù)f（x）=
（I）解關(guān)于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判斷函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，可將不等式_：f（x）≤1化為或，分別解答后，綜合討論結(jié)果，可得答案．
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，可得1≤x≤2時，函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析其單調(diào)性及極值，進而可由零點存在定理，判斷出函數(shù)零點的個數(shù)．
解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=
∴不等式_：f（x）≤1可化為：
…①或…②，
解①得x=1，解②得x＜1
綜上所述原不等式的解集為（-∞，1]
（II）當(dāng)1≤x≤2時，函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3=2x³-7x²+8x-3
∴h′（x）=6x²-14x+8=（6x-8）（x-1）
當(dāng)1＜x＜時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)＜x＜2時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=時，h（x）取最小值
又∵h（1）=0，h（2）=1＞0
故函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3在區(qū)間[1，2]上有2個零點
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，分段函數(shù)，其中（I）的關(guān)鍵是“分段函數(shù)分類討論”，（II）的關(guān)鍵是求出函數(shù)h（x）的解析式．