Question

已知?jiǎng)訄AC與圓（x+1）²+y²=1及圓（x-1）²+y²=25都內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)圓（x+1）²+y²=1的圓心O₁（-1，0），半徑r₁=1；圓（x-1）²+y²=25的圓心O₂（1，0），半徑r₂=5．設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），半徑R．由于動(dòng)圓C與圓（x+1）²+y²=1及圓（x-1）²+y²=25都內(nèi)切，可得|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．于是|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，利用橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓．求出即可．

解答：解：設(shè)圓（x+1）²+y²=1的圓心O₁（-1，0），半徑r₁=1；圓（x-1）²+y²=25的圓心O₂（1，0），半徑r₂=5．
設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），半徑R．
∵動(dòng)圓C與圓（x+1）²+y²=1及圓（x-1）²+y²=25都內(nèi)切，
∴|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．
∴|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，
因此動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
則2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
因此動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)、橢圓的定義，屬于中檔題．