Question

已知z₁、z₂是兩非零復數(shù),且|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,求證:（）²是負數(shù).

Answer 1

證明:方法一:（化歸思想）

設z₁=a+bi,z₂=c+di（a、b、c、dR）,則|z₁+z₂|=,

|z₁－z₂|=.

∵|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,

∴2ac+2bd=－2ac－2bd,即ac+bd=0.

而==i,

又∵z₁≠0,z₂≠0,∴≠0.

∴為純虛數(shù).故（）²是負數(shù).

方法二:（整體思想）

∵|z₁+z₂|=|z₁－z₂|,z₂≠0,兩邊同除以|z₂|得|+1|=|－1|.                          ①

把作為整體,設=x+yi（x、yR）.

①式可轉化為|（x+1）+yi|=|（x－1）+yi|,解之得x=0.

又∵z₁≠0,∴y≠0.∴為純虛數(shù).

故（）²為負數(shù).

方法三:（用模的性質）

|z₁+z₂|=|z₁－z₂||z₁+z₂|²=|z₁－z₂|²

（z₁+z₂）（z₁+z₂）－（z₁－z₂）（z₁－z₂）=0z₁+z₂=0.

又∵z₁≠0,z₂≠0,

∴z₁≠0,z₂≠0.兩邊同除以z₂得+（）=0.

∴為純虛數(shù).故（）²是負數(shù).

方法四:（用模的幾何意義）

由方法二得|+1|=|－1|,此方程表示在復平面內對應點Z到點A（1,0）和到點B（－1,0）的距離相等,故點Z在AB的垂直平分線上,即在y軸（除去（0,0）點）上,即點Z在虛軸上.∴為純虛數(shù).故（）²為負數(shù).

點評:不同的證明方法體現(xiàn)不同的數(shù)學思想,但整體思路都是想證明為純虛數(shù).