Question

設(shè)b＞0，數(shù)列{a_n}滿足a₁=b，a_n=

nban-1

an-1+2n-2

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，a_n≤

bn+1

2n+1

+1．

Answer 1

分析：（1）首先要根據(jù)條件變形遞推公式得：

n

an

=

1

b

+

2

b

•

n-1

an-1

，然后通過(guò)換元的方法分析得數(shù)列{bn+

1

2-b

}是等比數(shù)列，其中

n

an

=bn．從而可以求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先要利用基本不等式獲得b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ≥n•2ⁿ⁺¹•bⁿ，然后對(duì)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式變形然后利用所獲得的不等式放縮化簡(jiǎn)即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：（1）由題意知：

an

n

=

b •an-1

an-1+2(n-1)

，
∴

n

an

=

an-1+2(n-1)

ban-1

=

1

b

+

2

b

•

n-1

an-1

，
設(shè)

n

an

=bn，則bn=

2

b

bn-1+

1

b

(n≥2)
設(shè)bn+λ=

2

b

(bn-1+λ)，則bn=

2

b

bn-1+λ(

2

b

-1)，
當(dāng)b=2時(shí)，

n

an

-

n-1

an-1

=

1

2

，
∴{

n

an

}為首項(xiàng)是

1

2

，公差是

1

2

的等差數(shù)列．
∴a_n=2．
當(dāng)b≠2時(shí)，
令λ(

2

b

-1) =

1

b

，∴λ=

1

2-b

，
∴bn+

1

2-b

=

2

b

(bn-1+

1

2-b

)  (n≥2)，
∴{bn+

1

2-b

}是等比數(shù)列．
∴bn+

1

2-b

=(b1+

1

2-b

) (

2

b

)n-1，
又∵b1=

1

b

，
∴bn=

1

2-b

(

2

b

)n-

1

2-b

=

1

2-b

• 

2n-bn

bn

，
∴an=

nbn(2-b)

2n-bn

，n∈N*．
綜上可知：
當(dāng)b=2時(shí)，a_n=2．
當(dāng)b≠2時(shí)，an=

nbn(2-b)

2n-bn

，n∈N*
（2）當(dāng)b=2時(shí)，由（1）知命題顯然成立；
當(dāng)b≠2時(shí)，
∵b2n+22n＞2

b2n•22n

=2n+1•bn
b2n-1• 2+ b•22n-1＞2

b2n•22n

=2n+1•bn…
bn+12n-1+bn-12n+1＞2

b2n•22n

=2n+1•bn
將以上n個(gè)式子相加得：
b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ＞n•2ⁿ⁺¹•bⁿ
∴an=

n•2n+1•bn•(2-b)

2n+1• (2n-bn)

＜

[(b2n+b2n-1•2+…+b•22n-1+22n)-bn•2n]  (b-2)

2n+1•(bn-2n)

=

(b2n+b2n-1•2+…+b•22n-1+22n) (b-2) -bn•2n• (b-2)

2n+1•(bn-2n)

=

(b2n+1-bn+1•2n)+(bn•2n+1-22n+1)

2n+1•(bn-2n)

=

bn+1

2n+1

+1．
綜上可知：
an≤ 

bn+1

2n+1

+1，n∈N*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列的遞推公式問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、換元的思想、基本不等式的利用以及放縮法．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．