Question

已知橢圓C：+=1的兩個焦點分別是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是橢圓C上一點p到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設經過點F₂的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點Q（x，y），求y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定橢圓C的半焦距，再利用焦距是橢圓C上一點p到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項，求出a的值，從而可得橢圓的標準方程；
（2）分類討論，設出直線方程代入橢圓方程，確定線段MN的垂直平分線方程，可得Q的縱坐標，利用基本不等式，即可求得y的取值范圍．
解答：解：（1）設橢圓C的半焦距是c．依題意，得c=1．…（1分）
由題意焦距是橢圓C上一點p到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項，得4c=2a，∴a=2
∴b²=a²-c²=3．…（4分）
故橢圓C的方程為 ．…（6分）
（2）解：當MN⊥x軸時，顯然y=0．…（7分）
當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
代入橢圓方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k² x+4（k²-3）=0．…（9分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₃，y₃），則x₁+x₂=．…（10分）
所以x₃=，y₃=k（x₃-1）=，
∴線段MN的垂直平分線方程為y+=-（x-）．
在上述方程中令x=0，得y==．…（12分）
當k＜0時，≤-4；當k＞0時，．
所以≤y＜0，或0＜y≤．…（13分）
綜上，y的取值范圍是[，]．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．