Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）設(shè)，求函數(shù)f（x）在[0，5]上的最大值和最小值；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)f′（x）=3x²-10x-3=（x-3）（3x-1）
令f′（x）=0，得x=或x=3．

x	0	（0，）			3	（3，5）	5
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1?			?	-8	?	16

∴f（x）在[0，5]上的最大值為16，最小值為-8．
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得，
令，求導(dǎo)函數(shù)可得
∴g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
∴，
∴，此時(shí)滿足△＞0，
故a的取值范圍是．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，計(jì)算端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到結(jié)論；
（2）f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．