數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,且滿足Sn=2an-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求和數(shù)學(xué)公式;
(3)設(shè)有m項的數(shù)列{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列,并且滿足:數(shù)學(xué)公式
問數(shù)列{bn}最多有幾項?并求這些項的和.

解:(1)由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1,相減得an+1=2an+1-2an,即an+1=2an
又S1=2a1-1,得a1=1≠0,
∴數(shù)列{an}是以1為首項2為公比的等比數(shù)列,
∴an=2n-1
(2)由(1)知Sn=2n-1,
∴S1+S2+S3+…+Sn+1
=(21-1)•+(22-1)•+(23-1)•+…+(2n+1-1)•
=2(+2+22+…+2n)-(+++…+
=2(1+2)n-2n
=2•3n-2n
(3)由已知得2•=m-1.
又{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列,
∴bn=bn-1+1.
∴上式化為=m-1.
又bm=b1+(m-1),消bm得mb1-3b1-2m=0.
m==3+,由于m∈N*,
∴b1>2,
∴b1=3時,m的最大值為9.
此時數(shù)列的所有項的和為3+4+5+…+11=63
分析:(1)利用an+1=Sn+1-Sn,即可求得an+1=2an.,繼而可證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的概念即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)知Sn=2n-1,將其代入S1+S2+S3+…+Sn+1,分組求和.利用二項式定理即可求得其結(jié)果;
(3)利用對數(shù)的性質(zhì)可得到2•=m-1,利用{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列,且滿足上式,可化為=m-1,利用bm=b1+(m-1),消bm即可求得答案.
點評:本題考查二項式定理的應(yīng)用,考查數(shù)列求和,考查數(shù)列遞推式,突出考查創(chuàng)新思維與抽象邏輯思維的能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1,Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和,Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積,Tn(k)表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
,實數(shù)p,q滿足p>q>0且p>1,sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(1)求證:當(dāng)n≥2時,pan<an-1;
(2)求證sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)
;
(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求證sn
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*,
(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2an+bn,求數(shù)列{bn}的通項公式bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•商丘二模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列:
1
2
,
1
3
2
3
,
1
4
,
2
4
,
3
4
1
5
,
2
5
3
5
,
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下運算和結(jié)論:
①a24=
3
8
;
②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列;
③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=
n2+n
4
;
④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=
5
7

其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么滿足條件的△ABC有兩解;
③設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0;
④設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題的序號是

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