Question

研究函數(shù)的性質，分別給出下面結論（ ）
①若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=-f（x₂）；
②函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則對任意n∈N^*恒成立，
其中正確的結論有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①可由函數(shù)的奇偶性證得；②可結合①結論，先證x≥0時，函數(shù)的單調性，進而得到f（x）的單調性；③與②的判斷方法一樣，先求x≥0時，函數(shù)的值域，進而結合奇偶性得到函數(shù)在整個定義域上的值域；④由其形式知，此是一個與自然數(shù)有關的命題，故采用數(shù)學歸納法進行證明，即可得答案．
解答：解：若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）===-f（x₂），故①正確；
當x≥0時，為增函數(shù)，結合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同，可得②錯誤；
由②得當x≥0時，f（x）的值域為[0，1），結合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上，值域對稱，可得③正確；
④當n=1，f₁（x）=，f₂（x）==，
假設n=k時，f_k（x）=成立，
則n=k+1時，f_k+1（x）==成立，
由數(shù)學歸納法知，④正確．
故選C
點評：點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，函數(shù)的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．