Question

已知z為虛數(shù)，z+

9

z-2

為實(shí)數(shù)．
（1）若z-2為純虛數(shù)，求虛數(shù)z；
（2）求|z-4|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0），根據(jù)z-2為純虛數(shù)求得x的值，再由z+

9

z-2

為實(shí)數(shù)求出y的值，即得虛數(shù)z．
（2）由z+

9

z-2

為實(shí)數(shù)且y≠0 可得（x-2）²+y²=9，由此求得x的范圍，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義把要求的式子可化為

21-4x

，從而得到

21-4x

的范圍．

解答：解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0），則z-2=x-2+yi，
由z-2為純虛數(shù)得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
則 z+

9

z-2

=2+yi+

9

yi

=2+(y-

9

y

)i∈R，…（4分）
得y-

9

y

=0，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵z+

9

z-2

=x+yi+

9

x+yi-2

=x+

9(x-2)

(x-2)2+y2

+[y-

9y

(x-2)2+y2

]i∈R，
∴y-

9y

(x-2)2+y2

=0，∵y≠0，∴（x-2）²+y²=9，…（10分）
由（x-2）²＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z-4|=|x+yi-4|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+9-(x-2)2

=

21-4x

∈(1，5)．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，復(fù)數(shù)求模，屬于基礎(chǔ)題．