Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)．
（1）求k的值．
（2）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0試求不等式f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f(1)=

3

2

，且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1，+∞)上的最小值為-2，求m．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）=0，解出即可；
（2）由f（1）＞0易知a＞1，從而可判斷f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性、奇偶性可把不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，解出即可；
（3）由f（1）=

3

2

可求得a值，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，令t=f（x）=2^x-2^-x，g（x）可化為關(guān)于t的二次函數(shù)，分情況討論其最小值，令最小值為-2，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，經(jīng)檢驗(yàn)k=1符合題意；
（2）∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，
易知在R上單調(diào)遞增，
原不等式化為：f（x²+2x）＞f（4-x），∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}；
（3）∵f(1)=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

，
∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
當(dāng)m≥

3

2

時(shí)，當(dāng)t=m時(shí)，g(t)min=2-m2=-2，∴m=2；
當(dāng)m＜

3

2

時(shí)，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，g(t)min=

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
綜上可知m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及抽象不等式的求解，考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查分類討論思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．