Question

已知數(shù)列{a_n}中，，對一切n∈N₊，點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求通項b_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出λ若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（ I）由已知得 ，∵，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴．
數(shù)列{b_n}是以為首項以為公比的等比數(shù)列，b_n=．
（Ⅱ）因為b_n=，
∴a_n+1-a_n=1，a₂-a₁=1；a₃-a₂=，…，a_n+1-a_n=1，
將以上各式相加得：a_n-a₁=n+1-，
a_n=n--=．
（Ⅲ）存在λ=2，使得數(shù)列為等差數(shù)列，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n
=+（1+2+…+n）-2n
=
=．
．
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、B是常數(shù)）
即，
又=
則=0，當λ=2時，上式成立．
所以存在常數(shù)λ=2，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）通過已知條件求出a1，a2，利用b_n=a_n+1-a_n-1，得到b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，推出為常數(shù)，說明是等比數(shù)列，然后求解通項b_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出的b_n，利用累加法以及等比數(shù)列求和公式，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和S_n、T_n，利用數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件，化簡數(shù)列，求出λ的值即可．
點評：本題參考數(shù)列是等比數(shù)列的判定，通項公式的求法，前n項和的求法，考查分析問題解決問題的能力．